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4ème · Fiche de cours

Volumes de solides — 4ème

Calcul des volumes de pyramide, cône de révolution et boule — formules, application et retrouver une dimension.

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✅ À retenir

  • Pyramide : V = \dfrac{\text{Aire base} \times h}{3} (quelle que soit la forme de la base).
  • Cône de révolution : V = \dfrac{\pi \times r^2 \times h}{3}.
  • Boule (sphère) : V = \dfrac{4}{3} \times \pi \times r^3.
  • Un cône = \frac{1}{3} du cylindre de même base et même hauteur.
  • Attention : rayon = diamètre ÷ 2 avant tout calcul.

📖 Définition — Pyramide

Une pyramide est un solide dont la base est un polygone et dont les faces latérales sont des triangles qui se rejoignent en un sommet appelé apex.

La hauteur hh est la distance perpendiculaire entre la base et l'apex.

Vpyramide=Aire de la base×h3V_{\text{pyramide}} = \frac{\text{Aire de la base} \times h}{3}

📖 Définition — Cône de révolution et boule

Le cône de révolution a une base circulaire de rayon rr et une hauteur hh :

Vcoˆne=πr2h3V_{\text{cône}} = \frac{\pi r^2 h}{3}

La boule de rayon rr :

Vboule=43πr3V_{\text{boule}} = \frac{4}{3} \pi r^3

🔢 Méthode — Calculer le volume d'une pyramide

  1. Identifier la forme de la base et calculer son aire (carré : $c^2$ ; rectangle : $L \times l$ ; triangle : $\frac{b \times h_{\text{base}}}{2}$).
  2. Repérer la hauteur $h$ perpendiculaire à la base.
  3. Appliquer $V = \dfrac{\text{Aire base} \times h}{3}$.
  4. Donner le résultat avec l'unité au cube (cm³, m³…).

🔢 Méthode — Calculer le volume d'un cône

  1. Lire le rayon $r$ (si le diamètre est donné, diviser par 2).
  2. Lire la hauteur $h$.
  3. Appliquer $V = \dfrac{\pi r^2 h}{3}$.
  4. Calculer $r^2$, multiplier par $h$, diviser par 3, multiplier par $\pi$.
  5. Arrondir si demandé.

✏️ Exemple — Calcul d'un volume de cône

✏️ Exemple — Calcul d'un volume de boule

💡

Pour retrouver une dimension à partir du volume, on "remonte" la formule :

  • Hauteur pyramide : h=3VAire baseh = \dfrac{3V}{\text{Aire base}}
  • Hauteur cône : h=3Vπr2h = \dfrac{3V}{\pi r^2}
  • Rayon boule : r3=3V4πr^3 = \dfrac{3V}{4\pi} puis r=r33r = \sqrt[3]{r^3}
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Confondre diamètre et rayon ! Si l'énoncé donne "diamètre = 8 cm", alors r=4r = 4 cm.
Utiliser r=8r = 8 cm dans la formule donne un volume 8 fois trop grand !

Numi

Un ballon de basket (rayon ≈ 12 cm) a un volume de 43×π×123≈7238\frac{4}{3} \times \pi \times 12^3 \approx 7238 cm³. Rempli d'eau, il pèserait plus de 7 kg — heureusement il est gonflé à l'air !

🎯 Mini-quiz

1. Volume d'une pyramide à base carrée de côté 4 cm et hauteur 9 cm :

2. Volume d'un cône de rayon 3 cm et hauteur 7 cm (arrondi au dixième) :

3. Une boule a un diamètre de 10 cm. Son volume est :