✅ À retenir

Si (DE) \parallel (BC), alors \dfrac{AD}{AB} = \dfrac{AE}{AC} = \dfrac{DE}{BC}.
Le rapport de Thalès est le même pour tous les côtés coupés par les parallèles.
Configuration triangle : deux droites sécantes coupées par deux parallèles.
Configuration papillon : deux droites coupées par des parallèles, sommet entre les deux.
Réciproque : si les rapports sont égaux, alors les droites sont parallèles.

📖 Définition — Théorème de Thalès

Soit $A$ un point, $(BC)$ et $(DE)$ deux droites parallèles. Si $B$ , $D$ , $A$ sont alignés et $C$ , $E$ , $A$ sont alignés, alors :

$\frac{AD}{AB} = \frac{AE}{AC} = \frac{DE}{BC}$

Ces trois rapports sont égaux au rapport de réduction (ou d'agrandissement).

🔢 Méthode — Appliquer le théorème de Thalès

Identifier la configuration : triangle (sommet commun) ou papillon (point entre parallèles).
Nommer les points : sommet $A$, droites $(AB)$ et $(AC)$ coupées par des parallèles en $D$ et $E$.
Poser le rapport : $\dfrac{AD}{AB} = \dfrac{AE}{AC} = \dfrac{DE}{BC}$.
Identifier la longueur inconnue et résoudre l'équation avec produit en croix.

✏️ Exemple — Calcul d'une longueur

⚠️

Dans la configuration papillon, le signe des longueurs change : $\dfrac{OA}{OB} = \dfrac{OC}{OD}$ mais $OA$ et $OB$ sont dans des sens opposés. Bien repérer le sommet $O$ et l'ordre des points sur chaque droite.

Le théorème de Thalès est au cœur de toutes les histoires d'agrandissement et de réduction : photos, cartes, plans d'architecte. Si tu doubles toutes les distances depuis un point, toutes les longueurs sont multipliées par 2 — c'est Thalès !

🎯 Mini-quiz

1. $(DE) \parallel (BC)$, $AD = 4$, $AB = 6$, $DE = 3$. Calculer $BC$.

2. La réciproque de Thalès permet de :

3. $(DE)\parallel(BC)$, $AD=6$, $DB=4$, $AE=9$, $EC=?$