✅ À retenir

Suite convergente : u_n \to \ell (limite finie). Divergente : u_n \to \pm\infty ou oscille.
Gendarmes : si a_n \leq u_n \leq b_n et a_n, b_n \to \ell, alors u_n \to \ell.
TVI : f continue sur [a,b], f(a)\cdot f(b) < 0 \Rightarrow \exists\, c \in ]a,b[ tel que f(c)=0.

📖 Définition — Limite d'une suite

On dit que $(u_n)$ converge vers $\ell \in \mathbb{R}$ si pour tout $\varepsilon > 0$ , il existe $N \in \mathbb{N}$ tel que pour tout $n \geq N$ : $|u_n - \ell| < \varepsilon$ .

Opérations sur les limites (si $u_n \to \ell$ et $v_n \to m$ ) :

Opération	Limite
$u_n + v_n$	$\ell + m$
$u_n \times v_n$	$\ell \times m$
$u_n / v_n$ (si $m \neq 0$ )	$\ell / m$

Formes indéterminées : $\infty - \infty$ , $0 \times \infty$ , $\infty/\infty$ , $0/0$ → factoriser ou théorème des gendarmes.

📖 Définition — Continuité et TVI

$f$ est continue en $a$ si $\lim_{x \to a} f(x) = f(a)$ .

Toute fonction dérivable est continue. Fonctions usuelles continues sur leur domaine : polynômes, fractions rationnelles, $e^x$ , $\ln x$ , $\sin x$ , $\cos x$ .

Théorème des Valeurs Intermédiaires (TVI) :

Si $f$ est continue sur $[a,b]$ et si $f(a)$ et $f(b)$ sont de signes opposés, alors il existe au moins un $c \in ]a,b[$ tel que $f(c) = 0$ .

Si de plus $f$ est strictement monotone, ce $c$ est unique.

🔢 Méthode — Montrer qu'une équation a une solution sur un intervalle

Définir g(x) = f(x) − k (ramène à g(x) = 0).
Vérifier que g est continue sur [a,b] (dérivable ⟹ continue).
Calculer g(a) et g(b).
Vérifier qu'ils sont de signes opposés : g(a)·g(b) < 0.
Conclure par le TVI : ∃ c ∈ ]a,b[ tel que g(c)=0, i.e. f(c)=k.
Ajouter 'unique' si f est strictement monotone.

✏️ Exemple — Application du TVI

⚠️

Le TVI donne l'existence d'une solution, pas sa valeur exacte. Pour la trouver numériquement, utilise la dichotomie (bisection). Aussi : le TVI ne s'applique que si f est continue — toujours vérifier cette hypothèse.

Le TVI est une des rares garanties d'existence en mathématiques : sans savoir où exactement, il te dit qu'une solution existe quelque part. Dans la vraie vie, c'est le fondement de tous les algorithmes de recherche de racines (Newton, dichotomie...).

🎯 Mini-quiz

1. Suite u_n = 1/n. La suite converge vers :

2. Suite u_n = (−1)ⁿ. Elle :

3. f(x)=x²−3 sur [1,2]. TVI : f s'annule car :