✅ À retenir

Si F'=f, alors \displaystyle\int_a^b f(x)\,dx = F(b)-F(a) (formule de Newton–Leibniz).
IPP : \displaystyle\int_a^b u'v\,dx = \bigl[uv\bigr]_a^b - \int_a^b uv'\,dx.
Éq. diff. y'=ay : y=Ce^{ax} (C\in\mathbb{R}). Éq. y'=ay+b : solution particulière y_0=-b/a.

📖 Définition — Primitives usuelles

$f(x)$	Primitive $F(x)$	Conditions
$x^n$ ( $n \neq -1$ )	$\dfrac{x^{n+1}}{n+1}$	$x \in \mathbb{R}$
$\dfrac{1}{x}$	$\ln	x
$e^x$	$e^x$
$e^{ax+b}$	$\dfrac{1}{a}e^{ax+b}$	$a \neq 0$
$\cos x$	$\sin x$
$\sin x$	$-\cos x$
$\dfrac{u'}{u}$	$\ln	u
$u' \cdot e^u$	$e^u$

📖 Définition — Intégrale définie et aire

$\int_a^b f(x)\,dx = F(b) - F(a)$

où $F$ est une primitive quelconque de $f$ .

Aire entre la courbe et l'axe des abscisses :

$\mathcal{A} = \int_a^b |f(x)|\,dx$

Si $f \geq 0$ sur $[a,b]$ : $\mathcal{A} = \int_a^b f(x)\,dx$ .

Valeur moyenne :

$\bar{f} = \frac{1}{b-a} \int_a^b f(x)\,dx$

🔢 Méthode — Intégration par parties

Choisir u(x) et v'(x) parmi les facteurs : u → ln ou polynôme, v' → exp/trig/puissance.
Calculer u'(x) et v(x).
Appliquer : ∫u'v dx = [uv] − ∫uv' dx.
L'intégrale de droite doit être plus simple que celle de départ.
Si une borne est impliquée : calculer [uv] aux bornes puis l'intégrale restante.

✏️ Exemple — Intégration par parties

⚠️

Dans l'intégration par parties, choisir u et v' correctement est crucial. Si $\int uv'dx$ n'est pas plus simple, inverser les rôles. La règle "LIATE" (Log, Inverse trig, Algèbre/poly, Trig, Expo) indique quel terme prendre comme $v$ (dériver).

L'intégrale, c'est l'aire "signée" sous une courbe. Positive au-dessus de l'axe, négative en dessous. En physique c'est le travail, la distance parcourue, la charge accumulée. L'intégration et la dérivation sont inverses — c'est le théorème fondamental de l'analyse.

🎯 Mini-quiz

1. ∫(3x²−2x+1)dx = ?

2. ∫₀¹ eˣ dx = ?

3. Aire entre f(x)=x² et l'axe, de 0 à 3 ?