Géométrie de l'espace

Pour $\vec{u}(x_u, y_u, z_u)$ et $\vec{v}(x_v, y_v, z_v)$ :

$\vec{u} \cdot \vec{v} = x_u x_v + y_u y_v + z_u z_v = \|\vec{u}\|\|\vec{v}\|\cos\theta$

$\|\vec{u}\| = \sqrt{x_u^2 + y_u^2 + z_u^2}$

Orthogonalité : $\vec{u} \perp \vec{v} \Leftrightarrow \vec{u} \cdot \vec{v} = 0$

Équation cartésienne : $ax + by + cz + d = 0$

Le vecteur $\vec{n}(a,b,c)$ est normal au plan (perpendiculaire à tous ses vecteurs).

Plan passant par $A(x_A, y_A, z_A)$ de vecteur normal $\vec{n}(a,b,c)$ :

$a(x-x_A) + b(y-y_A) + c(z-z_A) = 0$

Distance d'un point $P(x_P,y_P,z_P)$ au plan $ax+by+cz+d=0$ :

$d = \frac{|ax_P + by_P + cz_P + d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}$

✏️ Exemple — Plan défini par trois points

Pour trouver le vecteur normal à un plan défini par deux vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$, calcule le produit vectoriel $\vec{u} \times \vec{v}$ (au programme de Terminale dans certaines éditions). Sinon, résous le système $\vec{n} \cdot \vec{u} = 0$ et $\vec{n} \cdot \vec{v} = 0$.

En 3D, deux droites "non parallèles" ne sont pas forcément sécantes : elles peuvent être gauches (ni parallèles ni sécantes). Toujours vérifier l'existence d'un point d'intersection avant de conclure.

La géométrie de l'espace, c'est passer de la feuille (2D) au monde réel (3D). Les mêmes outils — vecteurs, produit scalaire, équations — fonctionnent, juste avec une coordonnée de plus. La vision spatiale est la clé !