✅ À retenir

(\ln x)' = \dfrac{1}{x} (x>0). (\ln u)' = \dfrac{u'}{u}. (e^u)' = u'e^u.
f''(x) > 0 sur I \Rightarrow f convexe (courbe au-dessus des tangentes). f''<0 \Rightarrow concave.
Point d'inflexion : f'' change de signe en ce point. f''(a)=0 seul n'est pas suffisant.

📖 Définition — Formules de dérivation — rappel et compléments

Fonction	Dérivée	Conditions
$\ln x$	$\dfrac{1}{x}$	$x > 0$
$\ln(u)$	$\dfrac{u'}{u}$	$u > 0$
$x^a$ ( $a \in \mathbb{R}$ )	$ax^{a-1}$	$x > 0$
$(u \circ v)(x)$	$v'(x) \cdot u'(v(x))$
$\dfrac{1}{u}$	$-\dfrac{u'}{u^2}$	$u \neq 0$

📖 Définition — Convexité

$f$ est convexe sur $I$ si $f'' \geq 0$ sur $I$ (la courbe est "en creux", au-dessus de ses tangentes).

$f$ est concave sur $I$ si $f'' \leq 0$ sur $I$ (la courbe est "en bosse", en dessous de ses tangentes).

Point d'inflexion : point où $f''$ change de signe (la courbe change de courbure).

Propriété : $f$ convexe $\Leftrightarrow$ pour tous $a,b$ et $t \in [0,1]$ : $f(ta+(1-t)b) \leq tf(a)+(1-t)f(b)$ .

🔢 Méthode — Étude complète d'une fonction (plan)

1. Domaine de définition.
2. Limites aux bornes du domaine (asymptotes verticales, horizontales, obliques).
3. Dérivée f'(x) : tableau de signes, variations de f, extrema.
4. Dérivée seconde f''(x) : convexité, points d'inflexion.
5. Tableau récapitulatif de variations.
6. Points remarquables (intersections avec les axes, points d'inflexion).
7. Tracé de la courbe.

✏️ Exemple — Dérivée d'une fonction logarithmique

⚠️

$f''(x_0) = 0$ ne suffit pas pour un point d'inflexion. Il faut que $f''$ change de signe autour de $x_0$ . Exemple : $f(x) = x^4$ a $f''(0) = 0$ mais pas de point d'inflexion (f est convexe partout).

L'étude complète d'une fonction, c'est le portrait complet d'une courbe : où elle monte, où elle descend, où elle est courbée vers le haut ou le bas, ses asymptotes. Chaque étape apporte une information différente sur la "personnalité" de la fonction.

🎯 Mini-quiz

1. Dérivée de f(x) = ln(x²+1) ?

2. f''(x) > 0 sur I signifie que f est :

3. Dérivée de f(x) = e^(sin x) ?