✅ À retenir

P(n,k) = \dfrac{n!}{(n-k)!} (arrangements ordonnés). C(n,k) = \dbinom{n}{k} = \dfrac{n!}{k!(n-k)!} (non ordonnés).
Binôme : (a+b)^n = \displaystyle\sum_{k=0}^{n} \dbinom{n}{k} a^k b^{n-k}. Pascal : \dbinom{n}{k}+\dbinom{n}{k+1}=\dbinom{n+1}{k+1}.
Complémentarité : \text{card}(\bar{A}) = \text{card}(E)-\text{card}(A). Souvent plus simple de compter l'opposé.

📖 Définition — Principes fondamentaux

Principe multiplicatif : Si une tâche se décompose en $k$ étapes successives et indépendantes, de $n_1, n_2, \ldots, n_k$ choix chacune, alors le nombre total de façons est $n_1 \times n_2 \times \cdots \times n_k$ .

Objet	Formule	Ordre ?	Répétition ?
Arrangements $A_n^k$	$\dfrac{n!}{(n-k)!}$	Oui	Non
Permutations	$n!$	Oui	Non
Combinaisons $\binom{n}{k}$	$\dfrac{n!}{k!(n-k)!}$	Non	Non
Arrangements avec répétition	$n^k$	Oui	Oui

📖 Définition — Triangle de Pascal et binôme de Newton

Relation de Pascal : $\dbinom{n}{k} + \dbinom{n}{k+1} = \dbinom{n+1}{k+1}$

Formule du binôme :

$(a+b)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} a^k b^{n-k}$

Cas particuliers : $(a+b)^2 = a^2+2ab+b^2$ , $(a+b)^3 = a^3+3a^2b+3ab^2+b^3$ .

🔢 Méthode — Dénombrer avec complémentarité

Si compter A directement est difficile, compter Ā (l'opposé) peut être plus simple.
Appliquer : card(A) = card(E) − card(Ā).
Exemple classique : 'au moins un...' → 1 − P(aucun...)'.
Vérifier que E est bien défini et que A et Ā forment une partition de E.

✏️ Exemple — Dénombrement d'un comité

✏️ Exemple — Développement du binôme

⚠️

L'ordre compte en arrangements, pas en combinaisons. Choisir 3 membres d'un comité = combinaison (l'ordre d'élection ne compte pas). Créer un code PIN = arrangement (1234 ≠ 4321). Toujours demander : l'ordre est-il important ?

Le dénombrement, c'est la science de "compter intelligemment". Avant de calculer, pose-toi toujours trois questions : les objets sont-ils distinguables ? L'ordre importe-t-il ? Y a-t-il répétition ? Les réponses déterminent quelle formule utiliser.

🎯 Mini-quiz

1. C(7,3) = ?

2. Permutations de 4 éléments distincts ?

3. Coefficient de x² dans (x+2)⁴ ?