✅ À retenir

Suite bornée et monotone \Rightarrow convergente. La limite \ell vérifie \ell = f(\ell) (point fixe).
f continue sur [a,b], f(a)\cdot f(b) < 0 \Rightarrow \exists\, c \in ]a,b[ tel que f(c)=0 (TVI).
Convexité : f'' \geq 0 sur I \Leftrightarrow f convexe (courbe au-dessus de ses tangentes).

📖 Définition — Point fixe et convergence d'une suite récurrente

Si $u_{n+1} = f(u_n)$ et $(u_n)$ converge vers $\ell$ , alors $\ell$ est un point fixe de $f$ : $f(\ell) = \ell$ .

Méthode : Résoudre $f(x) = x$ pour trouver les candidats limites, puis vérifier que la suite est bornée et monotone.

Représentation graphique : Méthode de la “toile d'araignée” — alterner entre $y = f(x)$ et $y = x$ .

🔢 Méthode — Étudier une suite définie par u_{n+1}=f(u_n)

Trouver les points fixes : résoudre f(x)=x.
Montrer que la suite est monotone (par exemple par récurrence sur u_{n+1}−u_n ou le signe).
Montrer que la suite est bornée (encadrée entre deux valeurs).
Conclure par le théorème de la limite monotone : la suite converge.
Identifier la limite comme le point fixe atteint.

✏️ Exemple — Suite récurrente avec point fixe

💡

Pour la toile d'araignée : pars du point $(u_0, u_0)$ sur la droite $y=x$ , va verticalement jusqu'à $(u_0, f(u_0)) = (u_0, u_1)$ , puis horizontalement jusqu'à $(u_1, u_1)$ sur $y=x$ , et ainsi de suite. Si les spirales convergent vers un point sur $y=x$ , la suite converge vers ce point fixe.

⚠️

La suite peut ne pas converger vers un point fixe si elle oscille ou diverge. Et attention : un point fixe peut être attractif (suite converge vers lui) ou répulsif (suite s'en éloigne). Le signe de $|f'(\ell)|$ détermine cela : $|f'(\ell)| < 1$ → attractif.

Les suites récurrentes modélisent des systèmes dynamiques discrets : population avec capacité limite, algorithme numérique itératif, prix d'équilibre économique. La convergence vers un point fixe, c'est l'équilibre du système.

🎯 Mini-quiz

1. u₀=0, u_{n+1}=(u_n+6)/2. Point fixe ?

2. Suite croissante et majorée : elle :

3. Si f(a)>0 et f(b)<0 et f continue, alors :