✅ À retenir

La fréquence observée dans un échantillon **fluctue** autour de la probabilité p.
Intervalle de fluctuation au seuil de 95% : I = \left[p - \dfrac{1}{\sqrt{n}} \;;; p + \dfrac{1}{\sqrt{n}}\right].
Plus l'échantillon est grand, plus l'intervalle est étroit (fluctuation réduite).
Si la fréquence observée est **hors** de I : le modèle est remis en question au seuil de 5%.
Loi des grands nombres : quand n \to \infty, la fréquence tend vers la probabilité p.

📖 Définition — Intervalle de fluctuation au seuil de 95%

Si $p$ est la probabilité d'un événement et $n$ la taille de l'échantillon, alors avec une probabilité d'au moins 95%, la fréquence observée $f$ vérifie :

$p - \frac{1}{\sqrt{n}} \leq f \leq p + \frac{1}{\sqrt{n}}$

Cet intervalle s'appelle intervalle de fluctuation (ou de confiance approximatif).

🔢 Méthode — Appliquer l'intervalle de fluctuation

Identifier la probabilité théorique $p$ et la taille $n$ de l'échantillon.
Calculer $\dfrac{1}{\sqrt{n}}$.
Former l'intervalle $\left[p - \dfrac{1}{\sqrt{n}} \;;; p + \dfrac{1}{\sqrt{n}}\right]$.
Comparer la fréquence observée $f$ à cet intervalle : dans → compatible ; hors → suspect.

✏️ Exemple — Sondage électoral

⚠️

L'intervalle de fluctuation $\left[p \pm \dfrac{1}{\sqrt{n}}\right]$ est une approximation valable pour $n$ grand ( $n \geq 30$ ) et $p$ pas trop proche de $0$ ou $1$ . Pour les petits échantillons, il faut des méthodes exactes.

Les sondages politiques, les tests médicaux, le contrôle qualité en industrie — tout repose sur l'échantillonnage. La formule $\frac{1}{\sqrt{n}}$ explique pourquoi doubler la précision coûte 4 fois plus cher : il faut 4 fois plus de données !

🎯 Mini-quiz

1. Intervalle de fluctuation pour $p=0{,}4$, $n=100$ :

2. Quand $n$ augmente, l'intervalle de fluctuation :

3. La loi des grands nombres affirme que :