✅ À retenir
- Translation de vecteur \vec{u} : chaque point M est déplacé vers M' tel que \overrightarrow{MM'} = \vec{u}.
- Rotation de centre O, angle \alpha : M' vérifie OM' = OM et \widehat{MOM'} = \alpha.
- Translation et rotation sont des isométries : elles conservent les longueurs, les angles et les aires.
La translation
📖 Définition — Translation de vecteur u
Translater une figure de vecteur u, c'est déplacer chacun de ses points dans la direction et le sens de u, d'une distance égale à la norme de u.
L'image M' d'un point M vérifie : vecteur MM' = vecteur u.
🔢 Méthode — Construire l'image d'un triangle par translation
- Repérer les sommets A, B, C du triangle et le vecteur u tracé entre deux points P et Q.
- Tracer A' : depuis A, reproduire le vecteur PQ (même direction, même sens, même longueur).
- Tracer B' et C' de la même façon.
- Relier A'B'C' : le triangle image est congruent au triangle de départ.
✏️ Exemple — Image d'un carré par translation
Soit le carré ABCD de côté 2 cm et le vecteur u de coordonnées (3 ; 2).
Chaque sommet est décalé de 3 vers la droite et de 2 vers le haut :
- A(0 ; 0) → A'(3 ; 2)
- B(2 ; 0) → B'(5 ; 2)
- C(2 ; 2) → C'(5 ; 4)
- D(0 ; 2) → D'(3 ; 4)
Le carré A'B'C'D' a la même taille et la même forme que ABCD.
Soit le carré ABCD de côté 2 cm et le vecteur u de coordonnées (3 ; 2).
Chaque sommet est décalé de 3 vers la droite et de 2 vers le haut :
- A(0 ; 0) → A'(3 ; 2)
- B(2 ; 0) → B'(5 ; 2)
- C(2 ; 2) → C'(5 ; 4)
- D(0 ; 2) → D'(3 ; 4)
Le carré A'B'C'D' a la même taille et la même forme que ABCD.
La rotation
📖 Définition — Rotation de centre O, angle α
Une rotation de centre O, angle α, sens trigonométrique (antihoraire) transforme M en M' tel que :
- OM' = OM (même distance au centre)
- L'angle MOM' = α (mesuré dans le sens antihoraire)
Le centre O est le seul point qui reste fixe.
🔢 Méthode — Construire l'image d'un point par rotation au compas
- Ouvrir le compas à la distance OM.
- Tracer un arc de cercle de centre O passant par M.
- Reporter l'angle α à partir de [OM) avec le rapporteur.
- M' est le point d'intersection de l'arc et de la demi-droite tracée.
Pour une rotation de 90°, on peut utiliser l'équerre : placer le centre sur O, aligner un côté vers M, et M' est dans la direction perpendiculaire à distance OM.
Ne pas confondre rotation de 180° et symétrie centrale : ces deux transformations donnent le même résultat ! La rotation de 180° autour de O et la symétrie de centre O sont identiques.
Ne pas confondre non plus rotation et symétrie axiale : la rotation tourne autour d'un point, la symétrie retourne par rapport à une droite.
Une bonne façon de mémoriser la différence : la translation est un glissement (on pousse la figure), la rotation est un pivotement (on tourne la figure autour d'un point).
🎯 Mini-quiz
1. Qu'est-ce qui est conservé par une translation ?
2. A(1 ; 3) est translaté par le vecteur u(4 ; −2). Quelles sont les coordonnées de A' ?
3. Une rotation de 180° autour d'un point O donne le même résultat que…