✅ À retenir

Un vecteur a une direction, un sens et une longueur (norme).
Vecteurs égaux : même direction, même sens, même norme.
Relation de Chasles : \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC}.

📖 Définition — Vecteur et translation

Le vecteur $\overrightarrow{AB}$ est caractérisé par :

Direction : la droite $(AB)$
Sens : de $A$ vers $B$
Norme (longueur) : $AB$

La translation de vecteur $\overrightarrow{u}$ envoie chaque point $M$ vers son image $M'$ telle que $\overrightarrow{MM'} = \overrightarrow{u}$ .

Deux vecteurs sont égaux ( $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CD}$ ) si $ABDC$ est un parallélogramme.

🔢 Méthode — Construire l'image d'une figure par translation

Identifie le vecteur de translation u⃗ (direction, sens, longueur).
Pour chaque sommet A de la figure, trace A' tel que AA'⃗ = u⃗.
Reporte la même longueur dans la même direction et le même sens.
Relie les images des sommets pour obtenir la figure translatée.

✏️ Exemple — Translater un triangle

💡

La translation conserve les longueurs, les angles et les aires. La figure image est identique à la figure originale, juste déplacée.

⚠️

Confondre vecteur et segment. $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{BA}$ ont la même direction et la même norme, mais des sens opposés : $\overrightarrow{BA} = -\overrightarrow{AB}$ .

⚠️

Relation de Chasles mal appliquée. $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{CD} \neq \overrightarrow{AD}$ . Il faut que le point final du premier vecteur soit le point initial du second.

Un vecteur, c'est comme une instruction GPS : "avance de 3 km vers l'est". Peu importe d'où tu pars — tu arrives toujours au même endroit relatif !

🎯 Mini-quiz

1. ABCD est un parallélogramme. Que vaut AB⃗ + BC⃗ ?

2. Le vecteur u⃗ a une norme de 5 cm. Quel est le périmètre de l'image d'un triangle de périmètre 12 cm par la translation de vecteur u⃗ ?

3. ABCD est un parallélogramme. Quel vecteur est égal à AB⃗ ?