✅ À retenir

Deux parallèles coupées par deux sécantes : \dfrac{AD}{AB} = \dfrac{AE}{AC} = \dfrac{DE}{BC}.
Réciproque : si \dfrac{AD}{AB} = \dfrac{AE}{AC}, alors (DE) \parallel (BC).
Contraposée : si les rapports sont différents, alors les droites ne sont pas parallèles.

📖 Définition — Configuration de Thalès

Trois droites passent par un point O. Deux droites parallèles les coupent en A, B, C, D :

On a alors :

$\frac{OA}{OB} = \frac{OC}{OD} = \frac{AC}{BD}$

🔢 Méthode — Calculer une longueur inconnue avec Thalès

Repère la configuration : un point O, deux sécantes, et deux droites parallèles.
Identifie les quatre longueurs en jeu (3 connues, 1 inconnue).
Écris l'égalité des rapports correspondants.
Résous l'équation (produit en croix).
Vérifie l'ordre de grandeur et l'unité.

✏️ Exemple — Trouver une longueur

✏️ Exemple — Montrer que deux droites sont parallèles (réciproque)

💡

Tu peux vérifier rapidement tes rapports en les simplifiant : $\frac{6}{10} = \frac{3}{5}$ et $\frac{9}{15} = \frac{3}{5}$ . Même fraction → parallèles.

⚠️

Mauvais sens des rapports. Le numérateur et le dénominateur doivent toujours partir du même sommet $O$ . Écrire $\frac{OA}{OC} = \frac{OB}{OD}$ est correct. Écrire $\frac{OA}{OD} = \frac{OB}{OC}$ est faux.

⚠️

Oublier la condition « O à l'extérieur ». Thalès fonctionne aussi si $O$ est entre les deux parallèles (configuration « papillon »), mais dans ce cas les rapports sont négatifs si on oriente. En 3ème, on travaille avec des longueurs positives et on vérifie la cohérence de la figure.

Thalès, c'est une règle de trois déguisée ! Tu vois 3 longueurs et tu cherches la 4ème, exactement comme en proportionnalité.

🎯 Mini-quiz

1. Dans une configuration de Thalès avec le point O, si OA = 4, OB = 6 et OC = 8, quelle est la valeur de OD ?

2. La réciproque de Thalès permet de…

3. OA = 5, OB = 8, OC = 10, OD = 16. Les droites (AC) et (BD) sont-elles parallèles ?