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3ème · Fiche de cours

Systèmes d'équations

Résous des systèmes de deux équations à deux inconnues par substitution ou combinaison. Interprète graphiquement et modélise des problèmes concrets.

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✅ À retenir

  • Substitution : exprime x (ou y) dans une équation, substitue dans l'autre.
  • Combinaison : multiplie les équations pour éliminer une inconnue.
  • Graphiquement : la solution est l'intersection des deux droites y=ax+b et y=cx+d.

📖 Définition — Système de deux équations

Un système a la forme :

{ax+by=cdx+ey=f\begin{cases} ax + by = c \\ dx + ey = f \end{cases}

La solution est le couple (x,y)(x, y) qui vérifie les deux équations simultanément.

🔢 Méthode — Résoudre par substitution

  1. Dans l'équation la plus simple, exprime x en fonction de y (ou l'inverse).
  2. Substitue cette expression dans la deuxième équation.
  3. Résous l'équation à une seule inconnue obtenue.
  4. Déduis la valeur de l'autre inconnue.
  5. Vérifie le couple solution dans les deux équations.

✏️ Exemple — Résoudre par substitution

✏️ Exemple — Résoudre par combinaison

⚠️

Vérification négligée. Une erreur de calcul peut donner un couple faux. Toujours vérifier dans les deux équations d'origine.

⚠️

Mauvaise substitution. Si x=10−yx = 10 - y, tu substitues 10−y10 - y à la place de xx, pas à la place de yy.

Numi

Deux équations, deux inconnues : c'est comme deux indices d'une enquête. Seul un suspect vérifie les deux — c'est la solution !

🎯 Mini-quiz

1. Le couple (2 ; 3) est-il solution de : 2x + y = 7 et x − y = −1 ?

2. Dans le système : x + 2y = 8 et x = 2. Quelle est la valeur de y ?

3. On ajoute les équations : 3x − y = 5 et x + y = 7. Que trouve-t-on ?