Racines carrées — 3ème

✅ À retenir

• \sqrt{a} est le nombre positif dont le carré vaut a : (\sqrt{a})^2 = a pour a \geq 0.
• \sqrt{a^2} = |a| = a si a \geq 0 (la racine d'un carré est positive).
• \sqrt{a \times b} = \sqrt{a} \times \sqrt{b} et \sqrt{\dfrac{a}{b}} = \dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} pour a, b \geq 0.
• Simplifier \sqrt{48} = \sqrt{16 \times 3} = 4\sqrt{3}.
• Attention : \sqrt{a+b} \neq \sqrt{a} + \sqrt{b} !

📖 Définition — Racine carrée

🔢 Méthode — Simplifier une racine carrée

1. Décomposer le nombre en produit en cherchant les carrés parfaits (4, 9, 16, 25, 36…).
2. Écrire $\sqrt{a \times b^2} = b\sqrt{a}$ avec $a$ le plus petit possible.
3. Exemple : $\sqrt{180} = \sqrt{36 \times 5} = 6\sqrt{5}$.
4. Vérification : $(6\sqrt{5})^2 = 36 \times 5 = 180$ ✓

🔢 Méthode — Calculer avec des racines

1. Addition : $3\sqrt{2} + 5\sqrt{2} = 8\sqrt{2}$ (même radical = facteur commun).
2. Multiplication : $\sqrt{3} \times \sqrt{12} = \sqrt{36} = 6$.
3. $(\sqrt{a} + \sqrt{b})(\sqrt{a} - \sqrt{b}) = a - b$ (identité remarquable).
4. Rationalisation : $\dfrac{1}{\sqrt{2}} = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$ (multiplier par $\dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$).

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