Variables aléatoires — 1ère Spécialité

$X$ est une variable aléatoire (VA) discrète si elle prend un nombre fini (ou dénombrable) de valeurs.

Loi de probabilité : tableau des valeurs $x_i$ et probabilités $p_i$ avec $\sum p_i = 1$.

$E(X) = \sum x_i p_i \qquad V(X) = \sum (x_i - E(X))^2 p_i = E(X^2) - [E(X)]^2$

$\sigma(X) = \sqrt{V(X)}$

On répète $n$ fois une expérience de Bernoulli (succès avec probabilité $p$, échec avec probabilité $q = 1-p$), de manière indépendante.

$X$ = nombre de succès $\sim \mathcal{B}(n,p)$.

$P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}, \quad k \in \{0, 1, \ldots, n\}$

$E(X) = np \qquad V(X) = np(1-p) \qquad \sigma(X) = \sqrt{np(1-p)}$

Condition d'application : $n$ répétitions indépendantes, même probabilité $p$ à chaque fois.

✏️ Exemple — Application de la loi binomiale

Pour calculer $P(X \geq k)$ quand $k$ est proche de $n$ : utilise directement la formule pour quelques valeurs. Si $k$ est proche de 0 : calcule le complémentaire $1 - P(X < k)$. Choisis toujours la méthode avec le moins de termes à calculer !

Ne pas confondre $P(X = k)$ et $P(X \leq k)$. La loi binomiale donne directement $P(X = k)$. Pour des probabilités cumulées, il faut sommer. Aussi : n'oublie pas le coefficient $\binom{n}{k}$ — sans lui, tu calcules la probabilité d'un ordre précis, pas de k succès parmi n.

La loi binomiale est partout : contrôle qualité (combien de pièces défectueuses sur n ?), médecine (combien de patients répondent au traitement ?), sondages (combien de 'oui' sur n répondants ?). Dès qu'on compte des succès dans des répétitions indépendantes, c'est binomiale !