✅ À retenir
- Suite explicite : u_n = f(n). Par récurrence : u_{n+1} = f(u_n), u_0 donné.
- Monotonie : u_{n+1} - u_n > 0 \Rightarrow croissante. Ou u_{n+1}/u_n > 1 si tous les termes > 0.
- Récurrence : initialisation (vrai au rang 0) + hérédité (vrai au rang n \Rightarrow vrai au rang n+1).
📖 Définition — Types de définition
| Type | Exemple | Calcul de u_n |
|---|---|---|
| Explicite | Direct | |
| Récurrence | , | Terme par terme |
| Arithmétique | ||
| Géométrique |
🔢 Méthode — Étudier la monotonie d'une suite par récurrence
- Calcule u_{n+1} − u_n (ou u_{n+1}/u_n si les termes sont positifs).
- Exprime ce résultat en fonction de u_n (ou n).
- Détermine le signe (en fonction des hypothèses sur u_n).
- Conclus sur la monotonie.
- Si l'inégalité dépend de u_n, il peut falloir une démonstration par récurrence.
🔢 Méthode — Raisonnement par récurrence
- INITIALISATION : vérifie que la propriété est vraie au rang 0 (ou 1).
- HÉRÉDITÉ : suppose la propriété vraie au rang n (hypothèse de récurrence).
- Démontre qu'elle est vraie au rang n+1 en utilisant l'hypothèse.
- CONCLUSION : par le principe de récurrence, la propriété est vraie pour tout n ≥ 0 (ou 1).
✏️ Exemple — Récurrence : une somme
Pour montrer qu'une suite est bornée et monotone (donc convergente), deux étapes : prouver qu'elle est par exemple croissante (par récurrence ou différences), et majorée (trouver un M tel que u_n ≤ M pour tout n). Les deux ensemble garantissent la convergence.
La récurrence doit avoir les DEUX parties. Initialisation seule → rien prouvé. Hérédité seule sans initialisation → on pourrait prouver n'importe quoi ! Les deux sont nécessaires.
La récurrence, c'est le "domino" mathématique : tu montres que le premier tombe (initialisation), et que si un domino tombe, le suivant tombe aussi (hérédité). Alors tous tombent. C'est un des raisonnements les plus puissants des maths !
🎯 Mini-quiz
1. u₀=1, u_{n+1}=3u_n. Quel est u₃ ?
2. u_{n+1} − u_n = 1/(n+1) > 0 pour tout n. La suite est :
3. Dans une récurrence, l'étape d'hérédité suppose que la propriété est vraie :