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1ère Spécialité · Fiche de cours

Produit scalaire — Première Spécialité

Quatre définitions du produit scalaire, orthogonalité, équation d'un cercle, applications géométriques.

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✅ À retenir

  • Définition géométrique : \vec{u} \cdot \vec{v} = \|\vec{u}\| \cdot \|\vec{v}\| \cdot \cos(\theta) où \theta est l'angle entre \vec{u} et \vec{v}.
  • Définition algébrique : \vec{u}(x;y) \cdot \vec{v}(x';y') = xx' + yy'.
  • Via les normes : \vec{u} \cdot \vec{v} = \dfrac{\|\vec{u}+\vec{v}\|^2 - \|\vec{u}\|^2 - \|\vec{v}\|^2}{2}.
  • Orthogonalité : \vec{u} \perp \vec{v} \Leftrightarrow \vec{u} \cdot \vec{v} = 0.
  • Équation du cercle de centre \Omega(a;b) et rayon r : (x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2.
  • Lien avec le cercle : M est sur le cercle de diamètre [AB] \Leftrightarrow \overrightarrow{MA} \cdot \overrightarrow{MB} = 0.

📖 Définition — Produit scalaire — 4 définitions

Soient u⃗\vec{u} et v⃗\vec{v} deux vecteurs non nuls, et θ\theta l'angle entre eux :

1. Géométrique : u⃗⋅v⃗=∥u⃗∥⋅∥v⃗∥⋅cos⁡θ\vec{u} \cdot \vec{v} = \|\vec{u}\| \cdot \|\vec{v}\| \cdot \cos\theta

2. Algébrique : u⃗(x;y)⋅v⃗(x′;y′)=xx′+yy′\vec{u}(x;y) \cdot \vec{v}(x';y') = xx' + yy'

3. Via les normes : u⃗⋅v⃗=∥u⃗+v⃗∥2−∥u⃗∥2−∥v⃗∥22\vec{u} \cdot \vec{v} = \dfrac{\|\vec{u}+\vec{v}\|^2 - \|\vec{u}\|^2 - \|\vec{v}\|^2}{2}

4. Projeté : AB→⋅AC→=AB×AH\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = AB \times AH où HH est le pied de la hauteur depuis CC.

Figure géométrique

🔢 Méthode — Choisir la bonne définition

  1. **Coordonnées connues** → définition algébrique $xx' + yy'$.
  2. **Angle connu + normes** → définition géométrique $\|\vec{u}\|\|\vec{v}\|\cos\theta$.
  3. **Normes des sommes connues** → définition par les normes.
  4. **Problème géométrique (hauteur, orthocentre)** → définition projetée.

✏️ Exemple — Applications

⚠️

u⃗⋅v⃗\vec{u} \cdot \vec{v} est un scalaire (nombre), pas un vecteur. On ne peut pas faire ∥u⃗⋅v⃗∥\|\vec{u} \cdot \vec{v}\| (pas de norme d'un scalaire), mais on peut calculer ∣u⃗⋅v⃗∣|\vec{u} \cdot \vec{v}| (valeur absolue).

De plus : u⃗⋅v⃗=0\vec{u} \cdot \vec{v} = 0 implique u⃗⊥v⃗\vec{u} \perp \vec{v} ou l'un des vecteurs est nul.

Numi

Le produit scalaire est omniprésent en physique : le travail d'une force est W=F⃗⋅d⃗W = \vec{F} \cdot \vec{d}. Quand la force est perpendiculaire au déplacement (ascenseur, centripète), le travail est nul — car cos⁡(90°)=0\cos(90°) = 0 !

🎯 Mini-quiz

1. $\vec{u}(2;3) \cdot \vec{v}(-1;4)$ =

2. Quand dit-on que $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont orthogonaux ?

3. Le produit scalaire $\vec{u}\cdot\vec{v}$ est :