✅ À retenir

e^x est l'unique fonction dérivable telle que f'=f et f(0)=1. Sa dérivée est elle-même.
Propriétés : e^{a+b}=e^a e^b, e^{a-b}=\dfrac{e^a}{e^b}, (e^a)^n=e^{na}, e^0=1.
Croissances comparées : pour tout n\in\mathbb{N}, x^n e^x\to+\infty et x^n e^{-x}\to 0 quand x\to+\infty.

📖 Définition — Propriétés de la fonction exponentielle

$f(x) = e^x$ est définie sur $\mathbb{R}$ et vérifie :

Propriété	Valeur
Domaine	$\mathbb{R}$
Signe	$e^x > 0$ pour tout $x$
$f'(x)$	$e^x = f(x)$
$f(0)$	$1$
Limite en $-\infty$	$0$ (axe des abscisses est asymptote)
Limite en $+\infty$	$+\infty$
Monotonie	Strictement croissante sur $\mathbb{R}$

Dérivée de $e^{u(x)}$ : $(e^u)' = u' \cdot e^u$

🔢 Méthode — Résoudre une équation/inéquation exponentielle

Ramener à la forme e^{f(x)} = e^{g(x)} (car exp est injective, cela équivaut à f(x)=g(x)).
Pour une inéquation : e^{f(x)} < e^{g(x)} ⟺ f(x) < g(x) (exp croissante).
Si la forme e^x = k avec k > 0 : solution x = ln(k) (hors programme 1ère, mais connaître la logique).
Vérifier le domaine si u(x) est restreinte.

✏️ Exemple — Dérivée d'une fonction composée

✏️ Exemple — Équation exponentielle

💡

Croissances comparées à connaître :

$\lim_{x \to +\infty} \dfrac{e^x}{x^n} = +\infty$ (l'exponentielle l'emporte sur tout polynôme).
$\lim_{x \to -\infty} x^n e^x = 0$ (l'exponentielle "écrase" tout polynôme vers 0).

⚠️

$e^{a+b} = e^a \times e^b$ mais $e^{a+b} \neq e^a + e^b$ . Et $(e^a)^b = e^{ab}$ mais $e^{(a^b)} \neq (e^a)^b$ sauf si $a^b = ab$ . Attention aux exposants composés.

La constante $e \approx 2{,}718$ apparaît partout : en finance (intérêts continus), en physique (désintégration radioactive), en biologie (croissance bactérienne), en statistiques (loi normale). C'est le "nombre d'or de la croissance" !

🎯 Mini-quiz

1. Dérivée de f(x) = e^(3x+1) ?

2. e^(2x−1) > e^(x+2) équivaut à :

3. lim(x→+∞) e^x / x² = ?