✅ À retenir

f'(a) = pente de la tangente en a = \lim_{h \to 0} \dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}.
Si f'>0 sur I : f croissante. Si f'<0 : f décroissante. f'(a)=0 → extremum local possible.
Tangente en a : y = f'(a)(x-a) + f(a).

📖 Définition — Formules de dérivation

Fonction $f$	Dérivée $f'$
$c$ (constante)	$0$
$x^n$	$nx^{n-1}$
$\sqrt{x}$	$\dfrac{1}{2\sqrt{x}}$
$\dfrac{1}{x}$	$-\dfrac{1}{x^2}$
$e^x$	$e^x$
$\sin x$	$\cos x$
$\cos x$	$-\sin x$

Règles combinatoires :

$(u+v)' = u'+v'$
$(ku)' = ku'$
$(uv)' = u'v + uv'$
$\left(\dfrac{u}{v}\right)' = \dfrac{u'v - uv'}{v^2}$
$(u \circ v)' = v' \cdot u'(v)$ (composée)

🔢 Méthode — Étudier les variations d'une fonction par la dérivée

Calculer f'(x) avec les formules de dérivation.
Résoudre f'(x) = 0 pour trouver les points critiques.
Dresser le tableau de signe de f'(x) sur le domaine.
Déduire les variations de f : f' > 0 → croissante, f' < 0 → décroissante.
Calculer f aux points critiques pour trouver les extrema.

✏️ Exemple — Optimisation

💡

Pour un problème d'optimisation : après avoir trouvé $f'(x_0) = 0$ , toujours vérifier que c'est bien un maximum ou minimum (pas un point d'inflexion). Soit par le signe de $f''$ , soit par le tableau de variations de $f'$ .

⚠️

$(uv)' \neq u'v'$ . La dérivée d'un produit est $u'v + uv'$ — les deux termes croisés ! C'est l'erreur de dérivation la plus fréquente. Mémorise : "dérivée du premier × le second, PLUS le premier × dérivée du second."

La dérivée, c'est la "vitesse instantanée" d'une fonction — comment elle change en un instant donné. Là où la dérivée est nulle, la fonction "s'arrête" de monter ou descendre : c'est potentiellement un extremum. C'est le fondement de l'optimisation.

🎯 Mini-quiz

1. Dérivée de f(x) = 3x² − 2x + 5 ?

2. Équation de la tangente à f(x)=x³ en x=1 ?

3. Dérivée de u(x)v(x) = (x+1)(x²) ?