✅ À retenir

Suite arithmétique : u_n = u_0+nr. Somme des n+1 premiers termes : S = \dfrac{(n+1)(u_0+u_n)}{2}.
Suite géométrique : u_n = u_0\times q^n. Somme : S = u_0\cdot\dfrac{1-q^{n+1}}{1-q} (si q\neq 1).
Sens de variation : arithmétique → même signe que r. Géométrique : croissante si q>1, décroissante si 0<q<1.

📖 Définition — Raisonnement par récurrence (prélude)

Pour une suite définie par $u_{n+1} = f(u_n)$ , on ne peut pas toujours trouver $u_n$ explicitement. On peut :

Calculer les premiers termes numériquement.
Étudier les variations : si $u_{n+1} - u_n$ conserve un signe constant.
Chercher un seuil : plus petite valeur de $n$ telle que $u_n > K$ .

🔢 Méthode — Étudier les variations d'une suite définie par récurrence

Calcule u_{n+1} − u_n (ou u_{n+1}/u_n pour la géométrique).
Détermine le signe de cette différence (ou si le rapport est > 1 ou < 1).
Conclus : différence positive = croissante, négative = décroissante, nulle = constante.
Pour le seuil : pose l'inéquation u_n > K et résous pour n.

✏️ Exemple — Modélisation : croissance bactérienne

✏️ Exemple — Somme de suite arithmétique

💡

Pour le seuil d'une suite géométrique $u_n = u_0 \times q^n > K$ , prends le logarithme des deux membres : $n \ln q > \ln(K/u_0)$ . Si $q > 1$ , on divise par $\ln q > 0$ (inégalité conservée). Si $0 < q < 1$ , $\ln q < 0$ : l'inégalité se retourne !

⚠️

Ne pas confondre arithmétique et géométrique dans les problèmes. Un compte bancaire avec intérêts composés → géométrique. Un loyer augmentant d'un montant fixe → arithmétique. Lis bien l'énoncé.

Les suites géométriques modélisent tout ce qui "se multiplie" : population, virus, placement financier, radiations. Une raison légèrement supérieure à 1 finit toujours par exploser — c'est la croissance exponentielle !

🎯 Mini-quiz

1. Suite arithmétique : u₀=5, r=−2. Quel est u₆ ?

2. Somme des 5 premiers termes de la suite géométrique u₀=1, q=2 ?

3. Suite géométrique u₀=100, q=0,9. La suite est :