Fonctions, polynômes et exponentielle — 1ère

$f(x) = ax^2 + bx + c$ avec $a \neq 0$.

Forme canonique : $f(x) = a(x - \alpha)^2 + \beta$

• Sommet : $S\left(\alpha = -\dfrac{b}{2a},\; \beta = f(\alpha)\right)$
• Minimum si $a > 0$, maximum si $a < 0$.

Signe du trinôme (si $\Delta > 0$, racines $x_1 < x_2$) :

• Même signe que $a$ pour $x \in ]-\infty, x_1[ \cup ]x_2, +\infty[$
• Signe opposé à $a$ pour $x \in ]x_1, x_2[$

Il existe une unique fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ telle que $f' = f$ et $f(0) = 1$. On la note $\exp(x) = e^x$ où $e \approx 2{,}718$.

Propriétés :

$e^a \times e^b = e^{a+b}, \quad \frac{e^a}{e^b} = e^{a-b}, \quad (e^a)^n = e^{na}, \quad e^0 = 1$

✏️ Exemple — Résoudre une inéquation du 2e degré

Pour résoudre $e^{f(x)} = e^{g(x)}$, comme la fonction exponentielle est strictement croissante et injective, c'est équivalent à $f(x) = g(x)$. Idem pour les inéquations : $e^{f(x)} < e^{g(x)} \Leftrightarrow f(x) < g(x)$.

$e^{a+b} = e^a \times e^b$ (pas $e^a + e^b$). Et $e^{a \times b} = (e^a)^b$ mais $e^{a+b} \neq e^a + e^b$. La confusion entre addition et multiplication dans l'exposant est la source d'erreurs la plus fréquente.

La fonction exponentielle est la seule fonction (à constante près) égale à sa propre dérivée. C'est pour ça qu'elle modélise toutes les évolutions proportionnelles à leur quantité actuelle : population, radioactivité, désintégration…